Department of Natural Sciences The Hebrew University of Jerusalem The Open University of Israel Shoham - The Center for Technology in Distance Education home page Continuous Symmetry Measures

רקע תאורטי


עקרונות כלליים


1. מדד הסימטריה הרציף
2.שיטות חישוב:
         2.1. שיטת הקיפול והפרישה
         2.2. שיטת ההתאמה למבנה

1. מדד הסימטריה הרציף

מדד הסימטריה הרציף, S(G), הוא פונקציה של מרחק בין מבנה נתון לבין המבנה הקרוב אליו ביותר בעל הסימטריה הרצויה G (כאשר האות G מייצגת חבורת סימטריה). מדד הסימטריה אינו פונקציית מרחק פשוטה מאחר שמבנה הייחוס (המבנה הסימטרי הקרוב ביותר) אינו נתון מראש, ולכן יש צורך למצוא אותו תוך כדי חישוב. הן המבנה הנתון והן המבנה הסימטרי הקרוב אליו ביותר מיוצגים על- ידי אוסף של נקודות תואמות במרחב. ערך המדד מתקבל באמצעות חישוב של סכום ריבועי הפרשי המרחקים בין הנקודות התואמות של שני העצמים (הנתון והסימטרי) המנורמלים לגודל העצם.
(S(G מוגדר מתמטית על-פי הנוסחה:


כאשר
N - מספר הקדקודים של העצם הנבדק
Qk - וקטור הקואורדינטות של קדקוד k במבנה המקורי
Pk - וקטור הקואורדינטות של קדקוד k במבנה בעל סימטריה G נבחרת (המבנה הסימטרי הקרוב ביותר).
Q0 - וקטור הקואורדינטות של מרכז המאסה; מרכז המאסה מוגדר בנוסחה:


ערכי S נעים בין 0 ל- 100 ביחס לחבורת סימטריה ספציפית G. כאשר S(G)=0, העצם סימטרי, וככל שערך (S(G רחוק מאפס, העצם רחוק יותר מהסימטריה G.

באיור 8 מתוארים בצורה איכותית שלבי חישוב מדד הסימטריה למשולש מעוות כלשהו. ראשית מנורמל המבנה, בשלב השני מוצאים את העצם הסימטרי הקרוב ביותר (במקרה זה - משולש שווה-צלעות) ובשלב האחרון מוצאים את המרחק בין העצם המקורי המנורמל לבין העצם הסימטרי הקרוב אליו ביותר.

איור 8

חיפוש מבנה הייחוס (המבנה הסימטרי הקרוב ביותר) בעל אוסף הקואורדינטות Pk (ראו משוואה 1.1) הוא השלב החשוב ביותר בחישוב מדד הסימטריה. מקובלות שתי שיטות חיפוש עיקריות: שיטת הקיפול והפרישה ושיטת ההתאמה למבנה. שיטת הקיפול והפרישה הינה כללית ומתאימה לכל מבנה. שיטת ההתאמה למבנה מתאימה למקרים מיוחדים, שבהם העצם הסימטרי הקרוב ביותר ידוע ונתון, כמו למשל מציאת המרחק לפוליהדר מושלם (טטראהדר, אוקטאהדר, קובייה ועוד).

2.שיטות חישוב

2.1. שיטת הקיפול והפרישה
שיטת הקיפול והפרישה כשמה, מתקבלת על-ידי אלגוריתם המבצע קיפול ופרישה של נקודותיו של העצם המקורי (המעוות). כל נקודה בעצם מיוצגת על-ידי ווקטור ממרכז המאסה Q0. לצורך הדגמת השיטה ניעזר בדוגמה של משולש מעוות (איור 9a). נבחר באופן שרירותי את אחד הקדקודים, נניח Q1. נבחר באופן שרירותי את כיוון הסיבוב, נניח נגד כיוון השעון, ו"נקפל" את Q2 אל Q1 באמצעות הפעלת C3 פעם אחת. אחר כך "נקפל" את Q3 אל Q1 באמצעות הפעלת C3 פעמיים (איור 9b). מתקבל צבר נקודות שעוברות מיצוע לקבלת וקטור אחד המסומן ב-P1 (איור 9c). נחזור על פעולות אלה באמצעות בחירת Q2 או Q3 כקדקוד הנייח ובחירת קיפול עם או נגד כיוון השעון. מבין כל הקיפולים האפשריים, נבחר את זה הנותן את צבר הקדקודים בעל הפיזור הקטן ביותר. הצבר הנבחר יעבור את השלב הבא - שלב הפרישה. בשלב הפרישה, הווקטור הממוצע P1 נפרש לאוסף נקודות חדש, Pk, באמצעות הפעלת פעולות הסימטריה המתאימות. הנקודות נפרשות באמצעות פעולת C3 פעם אחת או פעמיים עם כיוון השעון, בהתאמה (איור 9d). העצם המתקבל הוא בעל הסימטריה הקרובה ביותר לעצם המקורי המיוצג על-ידי אוסף הנקודות Pk. השיטה מוצגת בהרחבה במאמר של Zabrodsky & Avnir (1992).

איור 9

2.2. שיטת ההתאמה למבנה
בשיטה זו המבנה הגאומטרי של העצם הסימטרי הקרוב ביותר ידוע מראש ולכן שיטת החיפוש היא פשוטה יחסית. לדוגמה, במקרה שבו מחפשים את כמות העיוות בפוליהדרים, ידוע מראש מהו המבנה הסימטרי הקרוב ביותר כגון טטראהדר, אוקטאהדר וכיוצא בזה.
האלגוריתם בשיטה זו, מתבסס על השלבים האלה: השלב הראשון הוא חישוב הקואורדינטות של מרכז המאסה של הפוליהדר הלא סימטרי והנחתו בראשית הצירים (איור 10a). גודלו וכיוונו אקראיים או נקבעים בהתאם לנוחות החישוב. בשלב השני, פוליהדר הייחוס (הסימטרי) מונח אף הוא על אותה ראשית צירים בגודל מנורמל ליחידה בכיוון אקראי (איור 10b). בשלב הבא מתבצע חישוב המדד בין אוסף הקואורדינטות של הפוליהדר המקורי Qk לבין אוסף הקואורדינטות של הפוליהדר הסימטרי Pk. מאחר שהפוליהדר המקורי הונח באופן שרירותי על ראשית הצירים, יש צורך לסובב אותו ולשנות את גודלו (איור 10c) עד שהמדד מקבל ערך מינימלי (איור 10d).

איור 10

באופן כללי, שיטה זו מתאימה למקרה שבו אנו מחפשים מרחק ממבנה מוגדר. שיטה זו שימושית במיוחד בחישוב מידת הסימטריה בקומפלקסים ובפוליהדרים של מבנים גבישיים (Pinsky & Avnir, 1998).




all rights reserved The Open University of Israel.