Department of Natural Sciences The Hebrew University of Jerusalem The Open University of Israel Shoham - The Center for Technology in Distance Education home page Continuous Symmetry Measures

רקע תאורטי


מוטיבציה

סימטריה נמצאת בכל תחומי החיים: באמנות, במוסיקה וכמובן בתחומי המדע. בעולם החי קיימות דוגמאות רבות ליצורים בעלי סימטריה יוצאת דופן אשר מעוררת בנו התפעלות רבה גם כאשר הסימטריה אינה מושלמת. בעולם הכימיה, המולקולות מצטיירות לנו תמיד כמבנים מושלמים. כך למשל, מולקולת המתאן, CH4, היא בעלת מבנה טטראהדרי, ומולקולת הבנזן היא בעלת מבנה משושה מישורי. עם זאת, כאשר מביטים לעומק בעזרת מכשירים חדשניים, ניתן לזהות עיוותים קטנים במבנים המולקולריים, כך שהסימטריה אינה תמיד מושלמת.

במדעי הטבע והחיים, מצבים הקרובים לסימטריה נפוצים מאוד. נתמקד בכמה דוגמאות מעולם הכימיה. הדוגמה הראשונה היא מולקולת המתאן. כאשר סקלת זמן המדידה של המכשיר איטית יותר מתנודות האטומים, מתקבל מבנה טטראהדרי סימטרי (מבנה ממוצע של כל התנודות). אך כאשר מבנה נבדק במכשיר שבו סקלת הזמנים מהירה יותר מקצב התנודות של המולקולה, מתקבלת תמונה של מצב רגעי שבו אחד הקשרים (או יותר) נמתח או התכווץ והמבנה אינו סימטרי אלא קרוב לסימטריה טטראהדרית. כך, למשל, תנודת מתיחה של אחד הקשרים במולקולת המתאן מעוותת את המבנה כך שרק ציר סיבוב C3 אחד נשמר (איור 1). תמונה דומה מתקבלת כאשר מתאן ספוח למשטח (איור 2).

איור 1

איור 2

כדוגמה שנייה נחשוב על מולקולת האתאן, H3C-CH3 (איור 3). מולקולה זו משתייכת לחבורה D3d במצב מסורג (staggered) ולחבורה D3h במצב לקוי (eclipsed). בכל קונפיגורציה אחרת המולקולה משתייכת לחבורה D3. איך אפשר לתאר את השינוי בסימטריה בתהליך של סיבוב מולקולה זו סביב הקשר C-C? אם למשל נסתכל על המולקולה בקונפיגורציה הרחוקה רק ב-5 מעלות מהקונפיגורציה המסורגת - לאיזו חבורה תתאים המולקולה יותר - ל-D3 או ל-D3d?

איור 3

הדוגמה השלישית היא מולקולת הפרוצן Fe(C5H5)2, הבנויה משתי טבעות פחמניות מחומשות הנמצאות מעל יון הברזל, +Fe2, ומתחתיו (איור 4). מולקולת סנדוויץ' מסוג זה התגלתה לראשונה בשנת 1951 ושנים אחר כך נחקר המבנה המדויק שלה. המבנה המדויק של הפרוצן בטמפרטורות נמוכות במצב מוצק הוסק מתוך תמונת העקיפה בקרני X. במבנה זה שתי הטבעות המחומשות אינן נמצאות בדיוק אחת מעל השנייה (לא במצב לקוי ולא במצב מסורג), אלא טבעת אחת מסובבת בזווית של 9o ביחס למצב הלקוי (ראו איור 5). במבנה המדויק של הפרוצן אין אפוא מישורי שיקוף, והסימטריה רק קרובה למבנה של דו-פירמידה מחומשת סימטרית. העיוות במבנה הפרוצן קיים גם ללא תנודות האטומים או סיבוב המולקולה סביב קשר מסוים, ונובע משיקולי אנרגיה ואילוצים של סימטרית הגביש.

איור 4

איור 5

כדוגמה רביעית נחשוב על התגובה בין שתי מולקולת אתילן ליצירת ציקלובוטאן (איור 6). חוקי הסימטריה הם אלה שקובעים האם התגובה תצא לפועל, ואם כן, באילו תנאים - פוטוכימיים או תרמיים, ובאיזה מנגנון - "על-פני" (suprafacial) או "נגד-פני" (antarafacial). כדי שהתגובה תצא לפועל באופן פוטוכימי "על פני" - שתי המולקולות צריכות להתקרב זו לזו תוך כדי שמירה על סימטריה מסוג D2h כך ששני הקשרים הכפולים יהיו מקבילים זה לזה. עם זאת, במקרים רבים המולקולות מתקרבות זו לזו כשהקשרים לא ממש מקבילים - למשל כאשר יש מתמירים שונים על הקשר הכפול. נשאלת השאלה, האם גם במקרים אלה נדרשת סימטריה מושלמת של D2h להתרחשות הריאקציה?


איור 6

כדוגמה אחרונה נתבונן במולקולה הקסאכלורובנזן והנגזרת שלה שבה הותמר אחד מאטומי הכלור באטום ברום (איור 7). המולקולה הראשונה שייכת לחבורה D6h ואילו השניה - לחבורה C2v. האם לא יהיה הגיוני יותר להתייחס למולקולה השנייה כבעלת סימטריה של D6h ברמה מסוימת?


איור 7

הדוגמאות שלעיל מלמדות כי במצבים רבים נדרשת התייחסות לסימטריה כאל תכונה מבנית בעלת התנהגות רציפה. מדידה רציפה של סימטריה תוכל לבטא באופן איכותי את כמות הסימטריה של כל מבנה נתון. פתרון לדרישה זו פתח בישראל, בצורה של מדד הסימטריה הרציף (Continuous Symmetry Measure) - מדד מספרי הנותן מידע על כמות הסימטריה הקימת בעצם מעוות. חישוב המדד מתבסס על מציאת המרחק בין המבנה המעוות לבין המבנה הקרוב אליו ביותר שיש לו את הסימטריה הרצויה.




all rights reserved The Open University of Israel.